Question

已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．
（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；
（II）对任何具有性质的集合，证明：；
（III）判断和的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

（I）；
（II）
（III）

解：集合不具有性质．
集合具有性质，其相应的集合和是，
．
（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．
因为，所以；
又因为当时，时，，所以当时，．
从而，集合中元素的个数最多为，
即．
（III）解：，证明如下：
（1）对于，根据定义，，，且，从而．
如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．
故与也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，
故与也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
由（1）（2）可知，．