Question

8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$），若函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为$\frac{π}{2}$，当$x=\frac{π}{6}$时，函数y=f（x）取得最大值3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）若$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）先确定A的值，函数的周期，利用周期公式可得ω的值，利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在x=$\frac{π}{6}$处取得最大值3，即可求得f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的单调性求解函数的单调减区间．
（3）由$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，可求$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，利用正弦函数的性质可得$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，从而得解．

解答 解：（1）因为当$x=\frac{π}{6}$时，函数y=f（x）取得最大值3，所以A=3，…（1分）
因为函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为$\frac{π}{2}$，
所以$T=2×\frac{π}{2}=π$，即$\frac{2π}{ω}=π$，所以ω=2，…（3分）
将点$（\frac{π}{6}，3）$代入f（x）=3sin（2x+φ），得$sin（2×\frac{π}{6}+φ）=1$，
因为$|φ|＜\frac{π}{2}$，所以$φ=\frac{π}{6}$，…（5分）
所以$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{6}）$．…（6分）
（2）令$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，…（8分）
解得$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}$，k∈Z，
所以f（x）的单调减区间是$[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]（k∈Z）$．  …（10分）
（结果未写出区间形式或缺少k∈Z的，此处两分不得）
（3）当$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，…（12分）
所以函数f（x）的值域是$[-\frac{3}{2}，3]$．  …（14分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数的单调性，正确求函数的解析式是关键，属于基础题．