Question

13．（1）由圆x²+y²=4上任意一点向x轴作垂线，求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程；
（2）两根杆分别绕着定点A和B（AB=2a）在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用中点坐标公式，确定P，M坐标之间的关系，将P的坐标代入圆的方程，即可求得M的轨迹方程．
（2）根据题意，AB是定值，且两根杆永远垂直，所以我们可以判定P的轨迹为圆 其中AB为直径 两根杆所成的角即为圆周角，以AB为x轴，以AB中点为原点建系，即可得到圆的轨迹方程．

解答 解：（1）设垂线夹在圆周和x轴间的线段中点M（x，y），则P（x，2y）
∵P在圆x²+y²=4上，
∴x²+4y²=4，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）根据题意，AB是定值，且两根杆永远垂直，所以我们可以判定P的轨迹为圆，其中AB为直径 两根杆所成的角即为圆周角
以AB为x轴，以AB中点为原点建系 直径AB=2a，
∴圆的轨迹方程：x²+y²=a²（x≠±a）．

点评 本题考查轨迹方程，考查直接法、代入法的运用，考查学生的计算能力，确定坐标之间的关系是关键．