Question

已知f(x)=2cos

x

2

(

3

sin

x

2

+cos

x

2

)-1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设α、β∈(0，

π

2

)，f（α）=2，f(β)=

8

5

，求f（α+β）的值．

Answer 1

（1）f（x）=2

3

sin

x

2

cos

x

2

+2cos²

x

2

-1=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

），
∵ω=1，
∴f（x）的最小正周期T=2π；
（2）∵f（α）=2sin（α+

π

6

）=2，
即sin（α+

π

6

）=1，
∵

π

6

＜α+

π

6

＜

2π

3

，
∴α+

π

6

=

π

2

，
即α=

π

3

，
∵f（β）=2sin（β+

π

6

）=

8

5

，
即sin（β+

π

6

）=

4

5

＜

3

2

，
∴

π

6

＜β+

π

6

＜

π

2

，cos（β+

π

6

）=

3

5

，
则f（α+β）=2sin（α+β+

π

6

）=2sin（

π

2

+β）=2cosβ=2cos[（β+

π

6

）-

π

6

]=2cos（β+

π

6

）cos

π

6

+2sin（β+

π

6

）sin

π

6

=

3 3 +4

5

．