Question

已知函数f（x）=sin²wx+

3

sinwxsin（wx+

π

2

）（w＞0）的最小正周期为π．
（1）求w的值；
（2）若不等式f（x）≥m对x∈[0，

2π

3

]都成立，求m的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先对三角关系式进行恒等变换，以函数的周期为突破口，进一步确定函数的解析式．
（2）利用（1）的结论，根据函数的定义域确定函数的值域，进一步利用恒成立问题，求出m的值．

解答： 解：（1）f（x）=sin²wx+

3

sinwxsin（wx+

π

2

）=

1-cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

由于函数的周期为：π
则：T=

2π

2ω

=π
所以：ω=1
（2）由（1）得：f（x）=sin(2x-

π

6

)+

1

2

已知x∈[0，

2π

3

]
所以：-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

则：-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1
0≤f（x）≤

3

2

不等式f（x）≥m对x∈[0，

2π

3

]都成立
只需满足m≤f（x）_min即可
则：m≤0，即：m的最大值为0．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用函数的周期确定函数的解析式，利用函数的定义域求三角函数的值域，恒成立问题的应用．