已知a为给定的正实数,m为实数,函数f(x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1.
(Ⅰ)若f(x)在(0,3)上无极值点,求m的值;
(Ⅱ)若存在x0∈(0,3),使得f(x0)是f(x)在[0,3]上的最值,求m的取值范围.
(Ⅰ)a;(Ⅱ)m≤或m≥.
解析试题分析:(Ⅰ) 求原函数的导函数,则导函数恒大于等于0,即可得所求;(Ⅱ)由(Ⅰ)知导函数时等于0,则为函数的极值,要使有最值,再看导函数为0时的另外一个根的范围,然后分情况讨论:①时,显然为最值;②时,先求(0,3)上的极值,然后再与端点函数值比较满足题意求m;③时,先求(0,3)上的极值,然后再与端点函数值比较满足题意求m,综合①②③可得m的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)由题意得f′(x)=3ax2-6(m+a)x+12m=3(x-2)(ax-2m),
由于f(x)在(0,3)上无极值点,故=2,所以m=a. 5分
(Ⅱ)由于f′(x)=3(x-2)(ax-2m),故
(i)当≤0或≥3,即m≤0或m≥a时,
取x0=2即满足题意.此时m≤0或m≥a.
(ii)当0<<2,即0<m<a时,列表如下:
故f(2)≤f(0)或f()≥f(3),x 0 (0,) (,2) 2 (2,3) 3 f′(x) + 0 - 0 + f(x) 1 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 9m+1
即-4a+12m+1≤1或+1≥9m+1,
即3m≤a或
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知.
(1)曲线y=f(x)在x=0处的切线恰与直线垂直,求的值;
(2)若x∈[a,2a]求f(x)的最大值;
(3)若f(x1)=f(x2)=0(x1<x2),求证:.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施不能建设开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在直线上),公共设施边界为曲线的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N,切曲线于点P,设.
(I)将(O为坐标原点)的面积S表示成f的函数S(t);
(II)若,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设数列的前项和为,已知(n∈N*).
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:当x>0时,
(Ⅲ)令,数列的前项和为.利用(2)的结论证明:当n∈N*且n≥2时,.
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