Question

6．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos²$\frac{B}{2}$=$\sqrt{3}$sinB，a=3c．
（1）求角B的大小和tanC的值；
（2）若b=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得$sin（B-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，结合B的范围即可解得B的值，
又根据正弦定理可得：sinA=3sinC，利用三角形内角和定理，特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求得tanC的值．
（2）根据余弦定理及题设可解得c，a的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$2{cos^2}\frac{B}{2}=\sqrt{3}sinB$，
∴$1+cosB=\sqrt{3}sinB$…（1分）
∴$2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB-\frac{1}{2}cosB）=1$，
即：$sin（B-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$…（2分）
所以$B-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$（舍），即$B=\frac{π}{3}$，…（4分）
∵a=3c，根据正弦定理可得：sinA=3sinC，…（5分）
∵sin（B+C）=sinA，
∴$sin（\frac{π}{3}+C）=3sinC$，
经化简得：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosC=\frac{5}{2}sinC$，
∴$tanC=\frac{{\sqrt{3}}}{5}$…．（7分）
（Ⅱ）∵$B=\frac{π}{3}$，
∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，cosB=\frac{1}{2}$，…（9分）
根据余弦定理及题设可得：$\left\{\begin{array}{l}{b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB\\ b=1\\ a=3c\\ cosB=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得：$c=\frac{{\sqrt{7}}}{7}，a=\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$，…（13分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}\frac{{\sqrt{7}}}{7}\frac{{3\sqrt{7}}}{7}\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{28}$．…（15分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形内角和定理，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．