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6.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2cos2$\frac{B}{2}$=$\sqrt{3}$sinB,a=3c.
(1)求角B的大小和tanC的值;
(2)若b=1,求△ABC的面积.

分析 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得$sin(B-\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$,结合B的范围即可解得B的值,
又根据正弦定理可得:sinA=3sinC,利用三角形内角和定理,特殊角的三角函数值,两角和的正弦函数公式,同角三角函数基本关系式即可求得tanC的值.
(2)根据余弦定理及题设可解得c,a的值,利用三角形面积公式即可计算得解.

解答 解:(Ⅰ)∵$2{cos^2}\frac{B}{2}=\sqrt{3}sinB$,
∴$1+cosB=\sqrt{3}sinB$…(1分)
∴$2(\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB-\frac{1}{2}cosB)=1$,
即:$sin(B-\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$…(2分)
所以$B-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$(舍),即$B=\frac{π}{3}$,…(4分)
∵a=3c,根据正弦定理可得:sinA=3sinC,…(5分)
∵sin(B+C)=sinA,
∴$sin(\frac{π}{3}+C)=3sinC$,
经化简得:$\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosC=\frac{5}{2}sinC$,
∴$tanC=\frac{{\sqrt{3}}}{5}$….(7分)
(Ⅱ)∵$B=\frac{π}{3}$,
∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2},cosB=\frac{1}{2}$,…(9分)
根据余弦定理及题设可得:$\left\{\begin{array}{l}{b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB\\ b=1\\ a=3c\\ cosB=\frac{1}{2}\end{array}\right.$,
解得:$c=\frac{{\sqrt{7}}}{7},a=\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$,…(13分)
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}\frac{{\sqrt{7}}}{7}\frac{{3\sqrt{7}}}{7}\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{28}$.…(15分)

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦定理,三角形内角和定理,特殊角的三角函数值,余弦定理,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.

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