Question

已知P是椭圆

x2

45

+

y2

20

=1的第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，则实数m的取值范围是（　　）

• A、[-7，8]
• B、[-

  9

  2

  ，

  21

  2

  ]
• C、[-2，2]
• D、（-∞，-7]∪[8，+∞）

Answer 1

分析：由椭圆

x2

45

+

y2

20

=1的两焦点坐标为（-5，0）（5，0），且P（x，y）（x＜0，y＜0）与两焦点连线互相垂直，知

y

x+5

• 

y

x-5

=-1，与

x2

45

+

y2

20

=1联立，得P（-3，-4），再由P（-3，-4）到4x-3y-2m+1=0的距离d=

|1-2m|

5

≤3，能求出实数m的取值范围．

解答：解：∵椭圆

x2

45

+

y2

20

=1的两焦点坐标为（-5，0）（5，0），
且P（x，y）（x＜0，y＜0）与两焦点连线互相垂直，
∴

y

x+5

• 

y

x-5

=-1，即y²=25-x²，
把y²=25-x²代入

x2

45

+

y2

20

=1，
得

x2

45

+

25-x2

20

=1，
解得x=±3，
∴y²=25-9=16，
y=±4，
∵点P在第三象限，
∴P点坐标是（-3，-4），
P（-3，-4）到4x-3y-2m+1=0的距离d=

|1-2m|

5

，
∵点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，
∴

|1-2m|

5

≤3，
-15≤1-2m≤15，
解得-7≤m≤8．
故选A．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．综合性强，难度大，容易出错．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．