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已知
(I)求函数f(x)的单调递增区间;
(II)令a=2,若经过点A(3,0)可以作三条不同的直线与曲线y=f(x)相切,求b的取值范围.
【答案】分析:(I)由=,x∈(0,+∞),令f′(x)=0,得x=a,或x=a.由此根据a的取值进行分类讨论,能求出f(x)的单调递增区间.
(II)设切点为P(x,y),切线斜率为k,则关于x的方程=有三个不等实根,即b=,由此入手能够推导出当b∈()时,可作三条切线.
解答:解:(I)∵

=
=,x∈(0,+∞)
令f′(x)=0,得x=a,或x=a.
①当0<a<1时,f(x)的单调递增区间为(0,a),(1,+∞);
②当a=1时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞);
③当a>1时,f(x)的单调递增区间是(0,1),(a,+∞).
(II)设切点为P(x,y),切线斜率为k,
则方程组
即关于x的方程=有三个不等实根,
整理,得b=
=
令h(x)=
则h′(x)=x-3+-
h′(x)=0,解得x=,或x=3.
当x变化时,h′(x)与h(x)的变化情况如下表:
 x (0,  (,3) 3 (3,+∞)
 h′(x)+ 0- 0+
 h(x) 极大值 极小值
当x=1时,h(x)取得极大值h()=12-6-ln2.
当x=3时,h(x)取得极小值h(3)=
又当x趋近于0时,h(x)充分小,当x趋近于+∞时,h(x)充分大,
故当b∈()时,可作三条切线.
点评:本题考查函数的单调递增区间的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想、等价转化思想的合理运用.
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