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已知函数f(x)=-lnx,x∈(0,e).曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与x轴和y轴分别交于A、B两点,设O为坐标原点,求△AOB面积的最大值.
分析:由f(x)的解析式求出f(x)的导函数,把x=t代入导函数即可求出切线的斜率,把t代入f(x)即可求出切点的纵坐标,根据切点的坐标和斜率表示出切线的方程,然后令y=0得到点A的横坐标,令x=0得到点B的纵坐标,根据t的范围得到求出的A的横坐标和B的纵坐标都大于0,然后利用三角形的面积公式表示出三角形AOB的面积S,得到S与t的函数关系式,求出S的导函数,令导函数大于0,得到函数的增区间,令导函数小于0得到函数的减区间,根据函数的增减性即可得到S的最大值.
解答:解:由已知f′(x)=-
1
x

所以曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线方程为y+lnt=-
1
t
(x-t)

令y=0,得A点的横坐标为xA=t(1-lnt),
令x=0,得B点的纵坐标为yB=1-lnt,
当t∈(0,e)时,xA>0,yB>0,
此时△AOB的面积S=
1
2
t(1-lnt)2
S′=
1
2
(lnt-1)(lnt+1)

解S'>0,得0<t<
1
e
;解S'<0,得
1
e
<t<e

所以(0,
1
e
)
是函数S=
1
2
t(1-lnt)2
的增区间;(
1
e
,e)
是函数的减区间.
所以,当t=
1
e
时,△AOB的面积最大,最大值为
1
2
×
1
e
(1-ln
1
e
)2=
2
e
点评:此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数求闭区间上函数的最大值,是一道中档题.
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π
4
)
的图象关于直线x=
π
6
对称,求φ的值.

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1
x

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m
2
]
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1
f(n)
}
的前n项和为Sn,则S2010的值为(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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