已知函数f(x)=-lnx,x∈(0,e).曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与x轴和y轴分别交于A、B两点,设O为坐标原点,求△AOB面积的最大值.
分析:由f(x)的解析式求出f(x)的导函数,把x=t代入导函数即可求出切线的斜率,把t代入f(x)即可求出切点的纵坐标,根据切点的坐标和斜率表示出切线的方程,然后令y=0得到点A的横坐标,令x=0得到点B的纵坐标,根据t的范围得到求出的A的横坐标和B的纵坐标都大于0,然后利用三角形的面积公式表示出三角形AOB的面积S,得到S与t的函数关系式,求出S的导函数,令导函数大于0,得到函数的增区间,令导函数小于0得到函数的减区间,根据函数的增减性即可得到S的最大值.
解答:解:由已知
f′(x)=-,
所以曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线方程为
y+lnt=-(x-t).
令y=0,得A点的横坐标为x
A=t(1-lnt),
令x=0,得B点的纵坐标为y
B=1-lnt,
当t∈(0,e)时,x
A>0,y
B>0,
此时△AOB的面积
S=t(1-lnt)2,
S′=(lnt-1)(lnt+1),
解S'>0,得
0<t<;解S'<0,得
<t<e.
所以
(0,)是函数
S=t(1-lnt)2的增区间;
(,e)是函数的减区间.
所以,当
t=时,△AOB的面积最大,最大值为
×(1-ln)2=.
点评:此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数求闭区间上函数的最大值,是一道中档题.