Question

设a为实数，记函数f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值为g（a）．
（1）设t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）求g（a）．

Answer 1

分析：（1）令t=

1+x

+

1-x

，由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，再由t2=2+2

1-x2

∈[2，4]，且t≥0…①，可得t的取值范围是[

2

，2]，进而得m（t）的解析式．
（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值，直线t=-

1

a

是抛物线m（t）=

1

2

at2+t-a的对称轴，分a＞0、a=0、a＜0三种情况利用函数的单调性求出函数f（x）的最大值为g（a）．

解答：解：（1）∵t=

1+x

+

1-x

，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．
∵t2=2+2

1-x2

∈[2，4]，且t≥0…①，∴t的取值范围是[

2

，2]．
由①得：

1-x2

=

1

2

t2-1，∴m(t)=a(

1

2

t2-1)+t=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]．
（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值，
∵直线t=-

1

a

是抛物线m（t）=

1

2

at2+t-a的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
1）当a＞0时，函数y=m（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-

1

a

＜0知m（t）在t∈[

2

，2]上单调递增，故g（a）=m（2）=a+2；
2）当a=0时，m（t）=t，在t∈[

2

，2]上单调递增，有g（a）=2；
3）当a＜0时，，函数y=m（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
若t=-

1

a

∈(0，

2

]即a≤-

2

2

时，g（a）=m(

2

)=

2

，
若t=-

1

a

∈(

2

，2]即a∈(-

2

2

，-

1

2

]时，g（a）=m(-

1

a

)=-a-

1

2a

，
若t=-

1

a

∈（2，+∞）即a∈(-

1

2

，0)时，g（a）=m（2）=a+2．
综上所述，有g（a）=

a+2   (a＞- 1 2 ) -a- 1 2a  (- 2 2 ＜a≤- 1 2 ) 2   (a≤- 2 2 )

．

点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的求法，函数解析式求解的方法，体现了分类讨论的数学思想．