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设a为实数,记函数f(x)=a
1-x2
+
1+x
+
1-x
的最大值为g(a).
(1)设t=
1+x
+
1-x
,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);
(2)求g(a).
分析:(1)令t=
1+x
+
1-x
,由1+x≥0且1-x≥0,得-1≤x≤1,再由t2=2+2
1-x2
∈[2,4]
,且t≥0…①,可得t的取值范围是[
2
,2]
,进而得m(t)的解析式.
(2)由题意知g(a)即为函数m(t)=
1
2
at2+t-a
t∈[
2
,2]
的最大值,直线t=-
1
a
是抛物线m(t)=
1
2
at2+t-a
的对称轴,分a>0、a=0、a<0三种情况利用函数的单调性求出函数f(x)的最大值为g(a).
解答:解:(1)∵t=
1+x
+
1-x
,∴要使t有意义,必须1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1.
t2=2+2
1-x2
∈[2,4]
,且t≥0…①,∴t的取值范围是[
2
,2]

由①得:
1-x2
=
1
2
t2-1
,∴m(t)=a(
1
2
t2-1)+t
=
1
2
at2+t-a
t∈[
2
,2]

(2)由题意知g(a)即为函数m(t)=
1
2
at2+t-a
t∈[
2
,2]
的最大值,
∵直线t=-
1
a
是抛物线m(t)=
1
2
at2+t-a
的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论:
1)当a>0时,函数y=m(t),t∈[
2
,2]
的图象是开口向上的抛物线的一段,
t=-
1
a
<0
知m(t)在t∈[
2
,2]
上单调递增,故g(a)=m(2)=a+2;
2)当a=0时,m(t)=t,在t∈[
2
,2]
上单调递增,有g(a)=2;
3)当a<0时,,函数y=m(t),t∈[
2
,2]
的图象是开口向下的抛物线的一段,
t=-
1
a
∈(0,
2
]
a≤-
2
2
时,g(a)=m(
2
)=
2

t=-
1
a
∈(
2
,2]
a∈(-
2
2
,-
1
2
]
时,g(a)=m(-
1
a
)=-a-
1
2a

t=-
1
a
∈(2,+∞)即a∈(-
1
2
,0)
时,g(a)=m(2)=a+2.
综上所述,有g(a)=
a+2   (a>-
1
2
)
-a-
1
2a
 (-
2
2
<a≤-
1
2
)
2
  (a≤-
2
2
)
点评:本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的求法,函数解析式求解的方法,体现了分类讨论的数学思想.
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科目:高中数学 来源: 题型:

设a为实数,记函数f(x)=asin2x+
2
sin(x+
π
4
)(x∈R)
的最大值为g(a).
(1)若a=
1
2
,解关于求x的方程f(x)=1;
(2)求g(a).

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科目:高中数学 来源: 题型:

设a为实数,记函数f(x)=a
1-x2
+
1+x
+
1-x
的最大值为g(a).
(1)设t=
1+x 
+
1-x
,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);
(2)求g(a);
(3)试求满足g(a)=g(
1
a
)的所有实数a.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设a为实数,记函数f(x)=a
1-x2
+
1+x
+
1-x
的最大值为g(a).
(1)设t=
1+x
+
1-x
,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);
(2)求g(a).

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科目:高中数学 来源: 题型:

设a为实数,记函数f(x)=的最大值为g(a).

(1)设t=,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);

(2)求g(a);

(3)试求满足g(a)=g()的所有实数a.

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