Question

2．（Ⅰ）若不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件为$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$求实数m的取值范围；
（Ⅱ）关于x的不等式|x-3|+|x-5|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出不等式|x-m|＜1的解集，再由不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件为$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$，确定m的取值范围．
（Ⅱ）利用绝对值不等式，结合|x-3|+|x-5|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由不等式|x-m|＜1得m-1＜x＜m+1，依题意{x|$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$}⊆{x|m-1＜x＜m+1}，则$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤\frac{1}{3}}\\{m+1≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{1}{2}≤m≤\frac{4}{3}$；5分
（Ⅱ）∵|x-3|+|x-5|≥|（x-3）-（x-5）|=2，
且|x-3|+|x-5|＜a的解集不是空集，
∴a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）.10分．

点评 本题考查充分不必要条件的应用，考查绝对值不等式，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用．