Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)=

1

2

x2+2ax ，  g(x)=3a2lnx+b，其中a＞0，设两曲线有公共点P（x₀，y₀），且在点P（x₀，y₀）处的切线是同一条直线．
（1）若a=1，求P（x₀，y₀）及b的值；
（2）用a来表示b，并求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出f（x），g（x）的导数，求出两个导函数在x₀的值即点p处的切线斜率，求出b的值．
（2）利用f（x），g（x）在x₀处的导数值相等，得到关于a，b的等式，分离出b，求出b的导数，令导数为0求出根，判断根左右两边的符号求出极值，即最值．

解答：解：（1）若a=1时，f(x)=

1

2

x2+2x，  g(x)=3lnx+b
分别求导数：f′(x)=x+2，  g′(x)=

3

x

…（2分）
∵在P（x₀，y₀）的切线是同一条直线．
∴f′(x0)=x0+2，  g′(x0)=

3

x0

，且x0+2=

3

x0

，解得：x₀=-3或1--（4分）
∵定义在（0，+∞）上，
∴x₀=-3舍去，将x₀=1代入f(x)=

1

2

x2+2x得y0=

5

2

…（6分）
∴公共点P(1，

5

2

)，…（7分）
代入g（x）=3lnx+b∴b=

5

2

…（8分）
（2）分别求导数：f′(x)=x+2a，g′(x)=

3a2

x

…（10分）
在P（x₀，y₀）的切线是同一条直线．
∴x0+2a=

3a2

x0

，即x₀=-3a或a，其中x₀=-3a舍去…（12分）
∴x₀=a而f（x₀）=g（x₀）得到：b=

5

2

a2-3a2lna（ a＞0）…（13分）
令b=h(t)=

5

2

t2-3t2lnt（t＞0）
∴h'（t）=2t-6tlnt
令h'（t）=2t-6tlnt=0，解得t=e

1

3

…（14分）
当h'（t）＞0时，t∈(0，e

1

3

)
当h'（t）＜0时，t∈(e

1

3

，+∞)…（15分）
∴当t=e

1

3

时h（t）取到最大值，即bmax=

5

2

e

2

3

-3e

2

3

lne

1

3

=

3

2

e

2

3

----（16分）

点评：本题考查曲线在切点处的导数值是曲线的切线斜率；求函数的极值，先求出导数，令导数为0，注意一定判断根左右两边的符号．