Question

【题目】已知抛物线y2=2px（p＞0），F为其焦点，过点（4，0）作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，△ABF的周长为18．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线上的定点 作两条关于直线y=p对称的直线分别交抛物线于C，D两点，连接CD，判断直线CD的斜率是否为定值？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：依据题意，A，B两点的坐标为 ，

所以△ABF的周长为： ，

即 ，∴ ，

故抛物线方程为y2=4x．

（2）解：由（1）知M（1，2），由题意知MC，MD两直线关于直线y=2对称，则直线MC，MD的倾斜角互补，

显然斜率均存在且不为0，设kMC=k，则kMD=﹣k，此时直线MC的方程为y﹣2=k（x﹣1）， 将其代入y2=4x，并整理得： ，

设C（x1，y1），D（x2，y2），则由韦达定理可得： ，

所以 ，同理，将上式中的k换成﹣k，得 ，

所以 ，

所以直线CD的斜率恒为﹣1．

【解析】1、根据题意求出A、B两点的坐标再利用△ABF的周长得到关于p的方程即得结果。
2、 由题意可设直线MC的斜率为k，MD的斜率为-k，可求得直线MC、MD的方程再与抛物线的方程联立求出交点坐标，进而可求得直线的斜率，从而可得到结论：直线CD的斜率恒为﹣1。