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函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(-x),且xf′(x)<0,设a=f(log47),b=f(log 
1
2
3),c=f(21.6),则a,b,c的大小关系是(  )
A、c<a<b
B、a<b<c
C、b<c<a
D、c<b<a
考点:利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质
专题:函数的性质及应用,导数的综合应用
分析:根据已知条件知,f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上为减函数,所以可考虑将f(x)自变量的值变到区间(0,+∞)上,根据f(x)在(0,+∞)上的单调性比较对应函数值的大小:容易判断出0<log47<2,-2<log
1
2
3<0
,0<-log
1
2
3<2
,21.6>2,并且f(log
1
2
3)=f(-log
1
2
3)
.所以比较log47和-log
1
2
3
的大小,可利用换底公式将上面两个对数式都化成以2为底,即可比较这两个对数值的大小,从而比较出log47,-log
1
2
3,21.6
的大小关系,根据f(x)在(0,+∞)上的单调性便可判断出a,b,c的大小关系.
解答: 解:解xf′(x)<0得,x>0时,f′(x)<0,x<0时,f′(x)>0;
即f(x)在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增;
并且该函数为偶函数;
∵-2<log
1
2
3<0
,0<log47<2,21.6>2;
f(x)为偶函数,∴f(log
1
2
3)=f(-log
1
2
3)
,且0<-log
1
2
3<2

∴需比较-log
1
2
3
与log47的大小:
-log
1
2
3=-
log23
log2
1
2
=log23
log47=
log27
log24
=log2
7

3>
7

log23>log2
7
,即-log
1
2
3>log47

21.6>-log
1
2
3>log47>0

又函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
f(21.6)<f(-log
1
2
3)<log47
,即c<b<a.
故选D.
点评:考查偶函数的定义,函数导数符号和函数单调性的关系,对数函数的单调性,指数函数的单调性,以及换底公式.
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1
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