Question

8．如图，在△ABC中，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，BN与CM交于点E，若$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则x+y=$\frac{5}{11}$．

Answer 1

分析 可根据共线向量基本定理，由B，E，N三点共线得到$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{BN}$，进一步便得到$\overrightarrow{AE}=（1-λ）\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{AC}$，而同理可由C，E，M三点共线得到$\overrightarrow{AE}=（1-μ）\overrightarrow{AC}+\frac{μ}{3}\overrightarrow{AB}$，从而便有$\left\{\begin{array}{l}{1+λ=\frac{μ}{3}}\\{\frac{λ}{4}=1-μ}\end{array}\right.$，这样解出λ，μ便可用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AE}$，从而求出x+y．

解答 解：B，E，N三点共线；
∴$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{BN}$；
∴$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=λ（\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AE}=（1-λ）\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{AC}$①；
同理由C，E，M三点共线可得：$\overrightarrow{AE}=（1-μ）\overrightarrow{AC}+\frac{μ}{3}\overrightarrow{AB}$②；
∴由①②得，$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{μ}{3}}\\{\frac{λ}{4}=1-μ}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{8}{11}，μ=\frac{9}{11}$；
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{11}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{11}\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$；
∴$x+y=\frac{5}{11}$．
故答案为：$\frac{5}{11}$．

点评 考查共线向量基本定理，平面向量基本定理，以及的加法、减法，及数乘运算，向量减法的几何意义．