Question

已知函数f（x）=e^x+ax（e为自然对数的底数，近似值为2.718）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）不等式f（x）＜x的解集为P，若M={x|

1

2

≤x≤2}且M∩P=M，求实数a的取值范围；
（3）当a=-1，且设g（x）=e^xlnx，是否存在x₀∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x₀处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即得函数的单调区间，注意要对a分类讨论；
（2）由M∩P=M，可得M⊆P，所以问题转化为f（x）＜x在[

1

2

，2]上恒成立，进而转化为求函数的最值问题解决；
（3）当a=-1时，求出f（x）在R上的最小值，假设存在符合条件的x₀，则x₀为方程y′=f_min（x）的解，构造函数，转化为函数的零点问题，利用导数可以解决．

解答：解：（1）f′（x）=e^x+a，
①当a≥0时，f′（x）≥0，所以f（x）的单调增区间是（-∞，+∞）；
②当a＜0时，令f′（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a），且当x∈（-∞，ln（-a））时，f′（x）＜0，当x∈（ln（-a），+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调减区间是（-∞，ln（-a）），单调增区间是（ln（-a），+∞）．
（2）因为M∩P=M，所以M⊆P，从而f（x）＜x在[

1

2

，2]上恒成立．
由e^x+ax＜x，得a＜1-

ex

x

在[

1

2

，2]上恒成立．
令h（x）=1-

ex

x

，x∈[

1

2

，2]，则h′（x）=

ex(1-x)

x2

，
所以h（x）在[

1

2

，2]上递增，在[1，2]上递减．
又h（

1

2

）=1-2

e

，h（2）=1-

e2

2

，且h（2）＜h（

1

2

），所以h_min（x）=h（2）=1-

e2

2

，所以a＜1-

e2

2

．
所以a的取值范围是（-∞，1-

e2

2

）．
（3）由y=g（x）-f（x）=e^xlnx-e^x+x，所以y′=e^x（lnx+

1

x

-1）+1．
假设存在x₀∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x₀处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等，
由（1）知，当a=-1时，f（x）的最小值是-（-1）+（-1）ln1=1，所以x₀为方程y′=1，即e^x（lnx+

1

x

-1）=0的解．
令t（x）=lnx+

1

x

-1，x∈（0，+∞），由t′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
知t（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，所以t（x）≥t（1）=0，
故方程lnx+

1

x

-1=0在（0，+∞）上有唯一解为1．
所以，存在符合条件的x₀，且只有1个．

点评：本题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题，关于不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题，方程的解转化为函数零点问题，本题渗透了函数与方程思想及转化思想．