Question

1+i是实系数方程x²-ax-b=0的一个虚数根，则直线ax+by=1与圆C：x²+y²=1交点的个数是（ ）
A．2
B．1
C．0
D．以上都可能

Answer 1

【答案】分析：根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，由方程的一个虚根1+i，得到另一根，进而求出a与b的值，确定出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，判断d与圆半径r的大小关系，可得出直线与圆的位置关系，即可得到直线与圆交点的个数．
解答：解：由韦达定理（一元二次方程根与系数关系）可得：
x₁+x₂=a，x₁•x₂=-b
∵b，c∈R，
x₁=1+i，∴x₂=1-i，
∴a=2，b=2，
∴直线方程为2x+2y=1，
由圆心（0，0）到直线的距离d==＜r=1，
得到直线与圆的位置关系是相交，
则直线与圆的交点个数是2个．
故选A
点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，点到直线的距离公式以及直线与圆相交的性质，虚数单位i及其性质，要求学生掌握用d与r的大小来判断直线与圆的位置关系．其中利用复数的运算性质，判断出方程的另一个根为1-i，是解答本题的关键．