Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1-x）=f（-x-3），当0≤x≤2时，f(x)=

x

2

，那使f(x)=

1

2

成立的x的集合为（　　）

• A、{x|x=2n，n∈Z}
• B、{x|x=2n-1，n∈Z}
• C、{x|x=4n-1，n∈Z}
• D、{x|x=4n+1，n∈Z}

Answer 1

分析：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，则函数的图象关于y轴对称，又由f（1-x）=f（-x-3），则函数的图象关于直线x=-1对称，则易得函数f（x）是周期为2的周期函数，又由当0≤x≤2时，f(x)=

x

2

，则当x=1时，f(x)=

1

2

，则易求f(x)=

1

2

成立的x的集合．

解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴函数的图象关于y轴对称，
又∵f（1-x）=f（-x-3），
∴函数的图象关于直线x=-1对称，
∴函数f（x）是周期为2的周期函数，
又∵当0≤x≤2时，f(x)=

x

2

，
∴当x=1时，f(x)=

1

2

，
∴使f(x)=

1

2

成立的x的集合为{x|x=2n-1，n∈Z}
故选B

点评：利用函数的周期性解题要注意：对于任意实数x，①若f（x+T）=f（x），则T为函数的周期；②若f（x+T）=-f（x），则2T为函数的周期；③若（a，y），（b，y）分别为函数的两个对称中心则T=2|a-b|④若x=a，x=b都是函数的对称轴，则T=2|a-b|．