Question

把函数y=lnx-2的图象按向量

α

=（-1，2）平移得到函数y=f（x）的图象．
（1）若x＞0，证明；f（x）＞

2x

x+2

；
（2不等式

1

2

x²≤f（x²）+m²-2bm-3对b∈[-1，1]，x∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据向量的平移，求得f（x）=ln（x+1），再构建函数F(x)=f(x)-

2x

x+2

=ln(x+1)-

2x

x+2

，确定函数的单调性，从而可证不等式；
（2）不等式

1

2

x²≤f（x²）+m²-2bm-3对b∈[-1，1]，x∈[-1，1]时恒成立，等价于

x2

2

-ln(x2+1)≤m2-2bm-3，对b∈[-1，1]，x∈[-1，1]时恒成立，求出左边函数的最大值，进一步可化为对b∈[-1，1]时，0≤m²-2bm-3恒成立，即使2mb+3-m²≤0恒成立，从而可求实数m的取值范围．

解答：（1）证明：∵函数y=lnx-2的图象按向量

α

=（-1，2）平移得到函数y=f（x）的图象
∴f（x）=ln（x+1），
构建函数F(x)=f(x)-

2x

x+2

=ln(x+1)-

2x

x+2

，
求导函数得F′(x)=

1

x+1

-

4

(x+2)2

=

(x+2)2-4(x+1)

(x+1)(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

∵x＞0，∴F′（x）＞0，
∴在（0，+∞）上，F（x）为增函数．
∴F（x）＞F（0）=0，
∴f(x)-

2x

x+2

＞0
∴f(x)＞

2x

x+2

；
（2）解：∵不等式

1

2

x²≤f（x²）+m²-2bm-3对b∈[-1，1]，x∈[-1，1]时恒成立
∴

x2

2

-ln(x2+1)≤m2-2bm-3，对b∈[-1，1]，x∈[-1，1]时恒成立
设g（x）=

x2

2

-ln(x2+1），
则g′（x）=x-

2x

x2+1

=

x3-x

x2+1

=

x(x+1)(x-1)

x2+1

，
x∈（-1，0）时，g′（x）＞0，x∈（0，1）时，g′（x）＜0．
∴x∈（-1，1）时，g（x）≤g（0）=0．
∴x∈（-1，1）时，0≤m²-2bm-3，
∴问题可化为对b∈[-1，1]时，0≤m²-2bm-3恒成立，即使2mb+3-m²≤0恒成立．
∴

m≥0 2m+3-m2≤0

或

m≤0 -2m+3-m2≤0

，
∴m≤-3或m≥3
综上，实数m的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）．

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查利用导数确定函数的单调性，进而证明不等式，考查恒成立问题的理解与处理，综合性强．