Question

11．已知函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$+c（a＞0），g（x）=lnx，其中函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（Ⅰ）用a表示出b，c；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}＞ln（n+1）+\frac{n}{2（n+1）}$（n≥1）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过函数的导数，利用导数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出b，c即可．
（Ⅱ）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）-lnx，问题转化为g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知a≥$\frac{1}{2}$时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论．
解法二：利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的导数为${f^'}（x）=a-\frac{b}{x^2}$，
则有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+b+c=0}\\{f′（1）=a-b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{b=a-1}\\{c=1-2a}\end{array}}\right.$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=ax+\frac{a-1}{x}+1-2a$，
令$φ（x）=f（x）-g（x）=ax+\frac{a-1}{x}+1-2a-lnx$，x∈[1，+∞），
则$φ（1）=0，{φ^'}（x）=a-\frac{a-1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-x-（{a-1}）}}{x^2}=\frac{{a（{x-1}）（{x-\frac{1-a}{a}}）}}{x^2}$，
（ i）当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，$\frac{1-a}{a}＞1$．
若$1＜x＜\frac{1-a}{a}$，则φ′（x）＜0，φ（x）是减函数，
所以φ（x）＜φ（1）=0，即f（x）＜g（x）．
故f（x）≥g（x）在[1，+∞）上不恒成立．
（ii）当$a≥\frac{1}{2}$时，$\frac{1-a}{a}≤1$．
若x＞1，则φ'（x）＞0，φ（x）是增函数，
所以φ（x）＞φ（1）=0，即f（x）＞g（x），
故当x≥1时，f（x）≥g（x）．
综上所述，所求a的取值范围为$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知当$a≥\frac{1}{2}$时，有f（x）≥g（x）（x≥1）．
令$a=\frac{1}{2}$，有$f（x）=\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）$≥lnx
且当x＞1时，$\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）$＞lnx．   
令$x=\frac{k+1}{k}$，有$ln\frac{k+1}{k}＜\frac{1}{2}（\frac{k+1}{k}-\frac{k}{k+1}）=\frac{1}{2}[{（1+\frac{1}{k}）-（1-\frac{1}{k+1}）}]$
∴$ln（k+1）-lnk＜\frac{1}{2}（{\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}}），k=1，2，3，…，n$，
将上述n个不等式依次相加，得$ln（{n+1}）＜\frac{1}{2}+（{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}}）+\frac{1}{{2（{n+1}）}}$，
整理得$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}＞ln（{n+1}）+\frac{n}{{2（{n+1}）}}$；
解法二：用数学归纳法证明．
①当n=1时，左边=1，右边=$ln2+\frac{1}{4}＜1$，不等式成立．
 ②假设当n=k时，不等式成立，就是$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k}＞ln（{k+1}）+\frac{k}{{2（{k+1}）}}$，
那么$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}＞ln（{k+1}）+\frac{k}{{2（{k+1}）}}+\frac{1}{k+1}$=$ln（{k+1}）+\frac{k+2}{{2（{k+1}）}}$，
由（Ⅱ）知，当$a≥\frac{1}{2}$时，有f（x）≥lnx（x≥1）．
令$a=\frac{1}{2}$，有$f（x）=\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）≥lnx（{x≥1}）$．
令$x=\frac{k+2}{k+1}$，得$\frac{1}{2}（{\frac{k+2}{k+1}-\frac{k+1}{k+2}}）≥ln\frac{k+2}{k+1}=ln（{k+2}）-ln（{k+1}）$．
∴$ln（{k+1}）+\frac{k+2}{{2（{k+1}）}}≥ln（{k+2}）+\frac{k+1}{2（k+2）}$．
∴$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}＞ln（{k+2}）+\frac{k+1}{{2（{k+2}）}}$．
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立
根据 ①和 ②，可知不等式对任何n∈N⁺都成立．

点评 本题是难题，考查函数与导数的关系，曲线切线的斜率，恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想．