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11.已知函数f(x)=ax+$\frac{b}{x}$+c(a>0),g(x)=lnx,其中函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.
(Ⅰ)用a表示出b,c;
(Ⅱ)若f(x)≥g(x)在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)证明:1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}>ln(n+1)+\frac{n}{2(n+1)}$(n≥1).

分析 (Ⅰ)通过函数的导数,利用导数值就是切线的斜率,切点在切线上,求出b,c即可.
(Ⅱ)利用f(x)≥lnx,构造g(x)=f(x)-lnx,问题转化为g(x)=f(x)-lnx≥0在[1,+∞)上恒成立,利用导数求出函数在[1,+∞)上的最小值大于0,求a的取值范围;
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知a≥$\frac{1}{2}$时,f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,则当a=$\frac{1}{2}$时,$\frac{1}{2}$(x-$\frac{1}{x}$)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,对不等式的左侧每一项裂项,然后求和,即可推出要证结论.
解法二:利用数学归纳法的证明步骤,证明不等式成立即可.

解答 解:(Ⅰ)f(x)的导数为${f^'}(x)=a-\frac{b}{x^2}$,
则有$\left\{\begin{array}{l}{f(1)=a+b+c=0}\\{f′(1)=a-b=1}\end{array}\right.$,解得$\left\{{\begin{array}{l}{b=a-1}\\{c=1-2a}\end{array}}\right.$.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知$f(x)=ax+\frac{a-1}{x}+1-2a$,
令$φ(x)=f(x)-g(x)=ax+\frac{a-1}{x}+1-2a-lnx$,x∈[1,+∞),
则$φ(1)=0,{φ^'}(x)=a-\frac{a-1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-x-({a-1})}}{x^2}=\frac{{a({x-1})({x-\frac{1-a}{a}})}}{x^2}$,
( i)当$0<a<\frac{1}{2}$时,$\frac{1-a}{a}>1$.
若$1<x<\frac{1-a}{a}$,则φ′(x)<0,φ(x)是减函数,
所以φ(x)<φ(1)=0,即f(x)<g(x).
故f(x)≥g(x)在[1,+∞)上不恒成立.
(ii)当$a≥\frac{1}{2}$时,$\frac{1-a}{a}≤1$.
若x>1,则φ'(x)>0,φ(x)是增函数,
所以φ(x)>φ(1)=0,即f(x)>g(x),
故当x≥1时,f(x)≥g(x).
综上所述,所求a的取值范围为$[{\frac{1}{2},+∞})$.
(Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)知当$a≥\frac{1}{2}$时,有f(x)≥g(x)(x≥1).
令$a=\frac{1}{2}$,有$f(x)=\frac{1}{2}({x-\frac{1}{x}})$≥lnx
且当x>1时,$\frac{1}{2}({x-\frac{1}{x}})$>lnx.   
令$x=\frac{k+1}{k}$,有$ln\frac{k+1}{k}<\frac{1}{2}(\frac{k+1}{k}-\frac{k}{k+1})=\frac{1}{2}[{(1+\frac{1}{k})-(1-\frac{1}{k+1})}]$
∴$ln(k+1)-lnk<\frac{1}{2}({\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}}),k=1,2,3,…,n$,
将上述n个不等式依次相加,得$ln({n+1})<\frac{1}{2}+({\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}})+\frac{1}{{2({n+1})}}$,
整理得$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}>ln({n+1})+\frac{n}{{2({n+1})}}$;
解法二:用数学归纳法证明.
①当n=1时,左边=1,右边=$ln2+\frac{1}{4}<1$,不等式成立.
 ②假设当n=k时,不等式成立,就是$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k}>ln({k+1})+\frac{k}{{2({k+1})}}$,
那么$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}>ln({k+1})+\frac{k}{{2({k+1})}}+\frac{1}{k+1}$=$ln({k+1})+\frac{k+2}{{2({k+1})}}$,
由(Ⅱ)知,当$a≥\frac{1}{2}$时,有f(x)≥lnx(x≥1).
令$a=\frac{1}{2}$,有$f(x)=\frac{1}{2}({x-\frac{1}{x}})≥lnx({x≥1})$.
令$x=\frac{k+2}{k+1}$,得$\frac{1}{2}({\frac{k+2}{k+1}-\frac{k+1}{k+2}})≥ln\frac{k+2}{k+1}=ln({k+2})-ln({k+1})$.
∴$ln({k+1})+\frac{k+2}{{2({k+1})}}≥ln({k+2})+\frac{k+1}{2(k+2)}$.
∴$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}>ln({k+2})+\frac{k+1}{{2({k+2})}}$.
这就是说,当n=k+1时,不等式也成立
根据 ①和 ②,可知不等式对任何n∈N+都成立.

点评 本题是难题,考查函数与导数的关系,曲线切线的斜率,恒成立问题的应用,累加法与裂项法的应用,数学归纳法的应用等知识,知识综合能力强,方法多,思维量与运算量以及难度大,需要仔细审题解答,还考查分类讨论思想.

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78166572080263140702436997280198
32049234493582003623486969387481
(  )
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