Question

（2012•即墨市模拟）如图，把边长为40cm的正方形铁皮的四角边去边长为xcm的四个相同的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k（k＞0），问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？

Answer 1

分析：根据长方体的体积公式，易得到V的表达式V（x）=x（40-2x）²=4（20-x）²•x 定义域为 （0，

40k

2k+1

]．对函数v进行求导，解出极值点 x=

40-20 3

3

，分当

40-20 3

3

≤

40k

2k+1

和当

40-20 3

3

＞

40k

2k+1

，讨论函数v的单调性，分别求出最大值，从而求解．

解答：解：由题意得，函数V（x）=x（40-2x）²=4（20-x）²•x，且 

x＞0 40-2x x 40-2x ≤k

，定义域为 （0，

40k

2k+1

]．
函数V的导数 V′（x）=12x²-320x+400，令 V′=0可得，x=

40-20 3

3

，或 x=

40+20 3

3

（舍去）．
当

40-20 3

3

≤

40k

2k+1

 时，导数 V′在x=

40-20 3

3

的左侧为正，右侧为负，故当x=

40-20 3

3

时，
函数V（x）=x（40-2x）²=4（20-x）²•x 取得最大值，且最大值为V（

40-20 3

3

）．
当

40-20 3

3

＞

40k

2k+1

时，由于当 0＜x＜

40-20 3

3

时，V′（x）＞0，函数V（x）在（0，

40k

2k+1

]是增函数，
故当x=

40k

2k+1

时，函数V（x）=x（40-2x）²=4（20-x）²•x 取得最大值，且最大值为V（

40k

2k+1

）．

点评：此题是一道应用题，主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确，属于难题．