Question

16．在等差数列{a_n}中，a₃+a₅=27，a₂+a₁₀=13，S_n=a₁+2a₂+2a₃+…+2a_n-1+a_n（n＞1），则S_n取得最大值时，n=8．

Answer 1

分析 根据a₃+a₅=27，a₂+a₁₀=13列方程组求出{a_n}的通项公式，和前n项和公式，把S_n看做关于n得二次函数，根据二次函数的性质得出答案．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃+a₅=27，a₂+a₁₀=13，∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+6d=27}\\{2{a}_{1}+10d=13}\end{array}\right.$，解得a₁=24，d=-$\frac{7}{2}$，∴a_n=24-$\frac{7}{2}$（n-1）=$\frac{55}{2}-\frac{7n}{2}$．
∴S_n=2（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n）-a₁-a_n=2×$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}$×n-a₁-a_n=（a₁+a_n）（n-1）=$\frac{（103-7n）（n-1）}{2}$．
∴S_n为开口向下的二次函数，对称轴为n=$\frac{1}{2}（\frac{103}{7}+1）$=$\frac{55}{7}$=7$\frac{6}{7}$．
∵n∈N，∴当n=8时S_n取得最大值．
故答案为8．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，求和公式，二次函数的性质，属于中档题．