Question

4．若函数f（x）=x³+ax²-2x+5在区间（$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用已知条件转化为导函数的零点问题，求解即可．

解答 解：函数f（x）=x³+ax²-2x+5，
可得f′（x）=3x²+2ax-2，
函数f（x）=x³+ax²-2x+5在区间（$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，
可知导函数在区间内有零点，
由f′（$\frac{1}{3}$）f′（$\frac{1}{2}$）＜0，
即：[3×$（\frac{1}{3}）^{2}+2a×\frac{1}{3}-2$][3×${（\frac{1}{2}）}^{2}+2a×\frac{1}{2}-2$]＜0，
得：a∈（$\frac{5}{4}，\frac{5}{2}$）．
实数a的取值范围：（$\frac{5}{4}，\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查函数的极值以及函数的单调性的判断，导数的综合应用，考查计算能力．