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已知F1,F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点,O为坐标原点,点P(-1,
2
2
)在椭圆上,且
PF1
F1F2
=0

(1)求椭圆M的方程;
(2)⊙O是以F1F2为直径的圆,直线l:y=kx+m与⊙O相切,并且与椭圆交于不同的两点A,B当
OA
OB
,且满足
2
3
≤λ≤
3
4
时,求弦长|AB|的取值范围.
分析:(1)根据点P(-1,
2
2
)在椭圆上,且
PF1
F1F2
=0
,可建立方程,从而可求椭圆M的方程;
 (2)利用直线l:y=kx+m与⊙O:x2+y2=1相切,可得m2=k2+1,进而将直线与椭圆方程联立,可表示弦长,利用
OA
OB
2
3
≤λ≤
3
4
,可确定其范围.
解答:解:(1)依题意,可知PF1⊥F1F2
∴c=1,
1
a2
+
1
2b2
=1,a2=b2+c2
,解得a2=2,b2=1,c2=1
∴椭圆的方程为
x2
2
+
y2
1
=1

(2)直线l:y=kx+m与⊙O:x2+y2=1相切,则m2=k2+1,
x2
2
+
y2
1
=1
y=kx+m
,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
∵直线l与椭圆交于不同的两点A,B
设A(x1,y1),B(x2,y2
x1+x2=-
2km
1+2k2
x1x2=
2m2-2
1+2k2


∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
1-k2
1+2k2

x1x2+y1y2=
1+k2
1+2k2

∴∴
2
3
 ≤
1+k2
1+2k2
≤ 
3
4

1
2
k2≤1

|AB|=2
2(k4+k2)
4(k4+k2)+1

u=k4+k2(
1
2
k2≤1)
,则
3
4
≤u≤2

|AB|=2
1
2
-
1
2(4u+1)

6
2
≤|AB|≤
4
3
点评:本题以椭圆为载体,考查椭圆的标准方程,考查直线与圆,与椭圆的位置关系,考查弦长的求解,有较强的综合性.
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点,若在椭圆上存在一点P,使∠F1PF2=120°,则椭圆离心率的范围是
[
3
2
,1
[
3
2
,1

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y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2=120°,求椭圆离心率的取值范围.

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已知F1、F2是椭圆的两个焦点.△F1AB为等边三角形,A,B是椭圆上两点且AB过F2,则椭圆离心率是
3
3
3
3

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已知 F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的两个焦点,椭圆上存在一点P,使得SF1PF2=
3
b2
,则该椭圆的离心率的取值范围是
[
3
2
,1)
[
3
2
,1)

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已知F1,F2是椭圆
x2
2
+y2=1
的两个焦点,点P是椭圆上一个动点,那么|
PF1
+
PF2
|
的最小值是(  )

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