Question

9．已知圆C经过A（-2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）设动直线l：（m+2）x+（2m+1）y-7m-8=0与圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，建立方程组，即可求圆C的标准方程；
（2）直线l过定点M（3，2）．由圆的几何性质可知，当l⊥CM时，弦长|PQ|最短．

解答 解：（1）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则$\left\{\begin{array}{l}{-2D+E+F+5=0}\\{5D+F+25=0}\\{E=2D}\end{array}\right.$，
解得D=-4，E=-8，F=-5．（3分）
所以圆C的方程是x²+y²-4x-8y-5=0，
即（x-2）²+（y-4）²=25．（5分）
（2）直线l的方程化为（2x+y-8）+m（x+2y-7）=0．
令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-8=0}\\{x+2y-7=0}\end{array}\right.$，得x=3，y=2，所以直线l过定点M（3，2）．（7分）
由圆的几何性质可知，当l⊥CM时，弦长|PQ|最短．
因为|CM|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（2-4）^{2}}$=$\sqrt{5}$
则|PQ|_min=2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$（10分）

点评 本题考查圆的方程，考查圆的几何性质的运用，属于中档题．