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    已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点。
    （1）求双曲线的方程；
    （2）若直线与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且L与的两个焦点A和B满足（其中O为原点），求的取值范围。
    （1）；（2）

    试题分析：（1）有椭圆方程中读出其长轴长，焦距长，根据题意得出双曲线的长轴长，和焦距长，即可求出双曲线方程。（2）因为直线l与两曲线均有两个不同交点，故联立方程后整理出的一元二次方程均有两根，即判别式均大于0，再根据向量数量积公式列出关于K 的不等式，三个不等式取交集。
    试题解析：（1）设双曲线的方程为，由椭圆的方程知，其长轴长为4，焦距长为，则由题意知双曲线中，，所以，故的方程为。
    （2）将代入，整理得，由直线与椭圆恒有两个不同的交点得即，
    将代入，整理得，由直线与双曲线恒有两个不同的交点得，解得。


    解此不等式得
           ③
    由①、②、③得
    故k的取值范围为
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆上的点满足，且△的面积为．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线与椭圆相交于、两点，直线与直线的交点为，证明：点总在直线上.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为；为椭圆上的四个点。
    (Ⅰ)求椭圆的方程；
    (Ⅱ)若，且，求四边形的面积的最大值和最小值.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    （本小题满分12分）已知的两顶点坐标，，圆是的内切圆，在边，，上的切点分别为，（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点的轨迹为曲线.

    （1）求曲线的方程；
    （2）设直线与曲线的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．

    （1）求抛物线方程；
    （2）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求的大小？

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知圆锥曲线的两个焦点坐标是，且离心率为；
    （Ⅰ）求曲线的方程；
    （Ⅱ）设曲线表示曲线的轴左边部分，若直线与曲线相交于两点，求的取值范围；
    （Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，如果，且曲线上存在点，使，求的值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图,已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于M、N两点，其准线与x轴交于K点.

    （1）求证：KF平分∠MKN；
    （2）O为坐标原点，直线MO、NO分别交准线于点P、Q，求的最小值.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知点（，是常数），且动点到轴的距离比到点的距离小.
    （1）求动点的轨迹的方程；
    （2）（i）已知点，若曲线上存在不同两点、满足，求实数的取值范围；
    （ii）当时，抛物线上是否存在异于、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆经过点,椭圆的离心率.

    （1）求椭圆的方程；
    （2）过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、.若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.

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