分析 (1)直接利用类加法求数列的通项公式;
(2)把数列{an}的通项公式代入bn=$\frac{n}{{a}_{n}}$,然后利用错位相减法求和.
解答 解:(1)由an+1-an=2n,得
an=[(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)]+a1
=$({2}^{n-1}+{2}^{n-2}+…+{2}^{1})+2=\frac{2(1-{2}^{n-1})}{1-2}+2={2}^{n}$,
又a1=2,
∴数列{an}的通项公式为${a}_{n}={2}^{n}$;
(2)由bn=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$,
知${S}_{n}=\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{2}{{2}^{2}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$,
$\frac{1}{2}{S}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$,
两式作差得:$\frac{1}{2}{S}_{n}=\frac{1}{2}+(\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}})-\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{{2}^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$.
∴${S}_{n}=2-\frac{n+2}{{2}^{n}}$.
点评 本题考查数列递推式,训练了类加法求数列的通项公式,训练了错位相减法求数列的和,是中档题.
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A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充分必要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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A. | (-∞,-1]∪(1,3] | B. | [-1,1)∪[3,+∞) | C. | (-∞,-1]∪[3,+∞) | D. | [-1,1)∪(1,3] |
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A. | 2014 | B. | 2015 | C. | 2016 | D. | 2017 |
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A. | 16 | B. | 9 | C. | 4 | D. | 1 |
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A. | $\frac{4}{9}$ | B. | $\frac{5}{9}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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