Question

已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则f（2013）=（　　）

• A、0
• B、2013
• C、3
• D、-2013

Answer 1

分析：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称⇒函数y=f（x）的图象关于y轴对称⇒y=f（x）为R上的偶函数，从而可求得f（3）=0，继而得函数y=f（x）是以6为周期的函数，从而可得f（2013）的值．

解答：解：∵函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=0，即y轴对称，
∴y=f（x）为R上的偶函数，又对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），
令x=-3得：f（6-3）=f（-3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0，
∴f（x+6）=f（x），
∴函数y=f（x）是以6为周期的函数，
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=0，
故选：A．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的奇偶性与周期性的应用，属于中档题．