Question

14．已知等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，其前n项和为S_n，若直线y=a₁x+m与圆x²+（y-1）²=1的两个交点关于直线x+2y-d=0对称，则数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前100项和=$\frac{100}{101}$．

Answer 1

分析 通过直线y=a₁x+m与直线x+2y-d=0垂直可知a₁=2，利用直线x+2y-d=0必过圆心可知d=2，进而裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论．

解答 解：依题意，直线x+2y-d=0的斜率为-$\frac{1}{2}$，
则-$\frac{1}{2}$a₁=-1，即a₁=2，
又∵直线y=a₁x+m与圆x²+（y-1）²=1的两个交点关于直线x+2y-d=0对称，
∴直线x+2y-d=0必过圆心，
即0+2-d=0，d=2，
∴数列{a_n}是首项、公差均为2的等差数列，
∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}$•2=n（n+1），
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴所求值为1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$，
故答案为：$\frac{100}{101}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．