Question

【题目】选修4—5：不等式选讲

已知函数f（x）＝|2x－a|＋a.

（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m－f（－n）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） a＝1 （2）[4，＋∞）．

【解析】

试题分析：（1）根据方程的解与不等式解集关系得：－2 ，3为|2x－a|＋a =6两根，解得a＝1。也可先利用绝对值定义求不等式解集a－3≤x≤3，再根据同解得等量关系a－3＝－2 （2）不等式有解问题，一般转化为对应函数最值问题：f（n）＋f（－n） 最小值≤m，再利用绝对值定义求f（n）＋f（－n） ＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2最小值，也可利用绝对值三角不等式求最小值：|2n－1|＋|2n＋1|

试题解析：（1）由|2x－a|＋a≤6，得|2x－a|≤6－a，

∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1

（2）由（1）知f（x）＝|2x－1|＋1，

令φ（n）＝f（n）＋f（－n），

则φ（n）＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2

＝

∴φ（n）的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，＋∞）．