Question

【题目】如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E为棱CC1上的动点．
（1）求证：A1E⊥BD；
（2）是否存在这样的E点，使得平面A1BD⊥平面EBD？若存在，请找出这样的E点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC，设AC∩DB=O，连接A1O，OE．

∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥BD，又BD⊥AC，

∴BD⊥平面ACEA1，∵A1E平面ACEA1，

∴A1E⊥BD

（2）解：当E是CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD．

证明如下：

∵A1B=A1D，EB=ED，O为BD中点，∴A1O⊥BD，EO⊥BD

∴∠A1OE为二面角A1﹣BD﹣E的平面角．

在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设棱长为2a，

∵E为棱CC1的中点，由平面几何知识，EO= a，A1O= a，A1E=3a，

∴A1E2=A1O2+EO2，即∠A1OE=90°．

∴平面A1BD⊥平面EBD

【解析】（1）连接AC，设AC∩DB=O，连接A1O，OE．证明A1A⊥BD，BD⊥AC，推出BD⊥平面ACEA1 ， 然后证明A1E⊥BD．（2）当E是CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD．说明∠A1OE为二面角A1﹣BD﹣E的平面角．设棱长为2a，推出∠A1OE=90°．即可证明平面A1BD⊥平面EBD．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．