Question

设0≤x≤

π

2

，函数y=cos²x+2msinx的最大值是g（m），求函数g（m）的最小值．

Answer 1

分析：先把函数解析式整理成二次函数的标准形式，根据函数sinx的范围，对m＜0，0≤m≤1和m＞1进行分类讨论，根据二次函数的性质分别求得函数的最大值的表达式，最后求得g（m）的解析式，画出函数的图象可推断出g（m）的最小值．

解答：解：∵0≤x≤

π

2

∴0≤sinx≤1，函数y=1-sin²x+2msinx
y=-（sinx-m）²+m²+1
分三种情况讨论：
（1）若m＜0，则当sinx=0时有最大值g（m）=1
（2）若0≤m≤1，则当sinx=m时有最大值g（m）=m²+1
（3）若m＞1，则当sinx=1时有最大值g（m）=2m
即g（m）=

1，m＜0 m2+1，0≤m≤1 2m，m＞1

由图象得g（m）的最小值是1

点评：本题主要考查了二次函数的性质．考查了学生分类讨论思想，数形结合思想和函数思想的运用．