练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
    （1）已知椭圆C1：+y2=1和C2：+=1，判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；
    （2）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

    【答案】分析：（1）椭圆C2与C1相似．先求得椭圆C2与椭圆C1的特征三角形的腰长和底边长，可发现两特征三角形相似，进而可判断两椭圆相似．
    （2）先假设存在，得到点M，N的直线方程和中点坐标，然后联立椭圆和直线消去y得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理可得到两根之和，即得到MN中点x的值，代入到直线可确定y的值，再由MN的中点在直线上可求得t的值．
    解答：解：（1）椭圆C2与C1相似．
    因为C2的特征三角形是腰长为4，底边长为2的等腰三角形，
    而椭圆C1的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，
    因此两个等腰三角形相似，且相似比为2：1
    （2）假定存在，则设M、N所在直线为y=-x+t，MN中点为（x，y）．
    则∴5x2-8xt+4（t2-b2）=0．
    所以x==，y=．
    中点在直线y=x+t上，所以有t=-．
    点评：本题主要考查椭圆的基本性质的简单应用和直线与椭圆的综合问题．直线与圆锥曲线是高考的重点问题，经常以压轴题的形式出现，一定要引起重视．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
    （1）已知椭圆C1：
    x2
    4
    +y2=1和C2：
    x2
    16
    +
    y2
    4
    =1，判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；
    （2）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆C：
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别为F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），抛物线P：x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，与椭圆C相交于A、B两点，且
    F2B
    =λ
    AF2
    ．
    （1）求证：切线l的斜率为定值；
    （2）若动点T满足：
    ET
    =μ(
    EF1
    +
    EF2
    )，μ∈(0，
    1
    2
    )    ，且
    ET
    •
    OT
    的最小值为-
    5
    4
    ，求抛物线P的方程；
    （3）当λ∈[2，4]时，求椭圆离心率e的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率e=
    		3
    2
    ，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，A（0，b），且
    F1A
    •
    F2A
    =-2过左焦点F1作直线l交椭圆于P1、P2两点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若直线l的倾斜角a∈[
    π
    3
    ，
    2π
    3
    ]，直线OP1，OP2与直线x=-
    4
    		3
    3
    分别交于点S、T，求|ST|的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的焦点为F1（1，0）、F2（-1，0），离心率为
    		2
    2
    ，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）①求直线l的斜率k的取值范围；
    ②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF1A和∠NF1F2是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•梅州一模）如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +y2=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2+y2-6x-2y+7=0相切．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且
    AP
    •
    AQ
    =0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案