Question

（2012•福建模拟）设函数f（x）的图象是由函数g(x)=cos2x+

3

sinxcosx-

1

2

的图象经下列两个步骤变换得到：
（1）将函数g（x）的图象向右平移

π

12

个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数h（x）的图象；
（2）将函数h（x）的图象上各点的纵坐标缩短为原来的m(0＜m＜

1

2

)倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数f（x）的图象．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）判断方程f（x）=x的实根的个数，证明你的结论；
（Ⅲ）设数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=f（a_n），试探究数列{a_n}的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角三角函数公式，将g（x）化简整理得g（x）=sin(2x+

π

6

)，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律，结合题意可得变换后的f（x）的表达式；
（II）令F（x）=f（x）-x=msinx-x+1，通过计算F（0）和F（

π

2

），结合零点存在性定理，得F（x）=0在(0，

π

2

)至少有一个根，再根据导数讨论F（x）的单调性，得F（x）在R上单调递减，即可得到方程f（x）=x有且只有一个实根．
（III）根据f（x）表达式，计算a₁=0，a₂=1＞a₁，a₃=msin1+1＞a₂．由此猜测a_n＞a_n-1（n≥2），即数列{a_n}是单调递增数列．再用数学归纳法进行证明，可得猜想的结论成立，即数列{a_n}是单调递增函数．

解答：解：（Ⅰ）g(x)=cos2x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

…（2分）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin(2x+

π

6

)…（3分）
∴函数g（x）的图象向右平移

π

12

个单位，得g（x+

π

12

）=sin2x，
再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得h（x）=sinx，…（4分）
再将函数h（x）的图象上各点的纵坐标缩短为原来的m(0＜m＜

1

2

)倍（横坐标不变），
并将图象向上平移1个单位，得f（x）=msinx+1．…（5分）
（Ⅱ）方程f（x）=x有且只有一个实根．…（6分）
理由如下：
由（Ⅰ）知f（x）=msinx+1，令F（x）=f（x）-x=msinx-x+1，
因为F（0）=1＞0，结合0＜m＜

1

2

，得F(

π

2

)=m-

π

2

+1＜

3

2

-

π

2

＜0．
所以F（x）=0在(0，

π

2

)至少有一个根．…（7分）
又因为F′(x)=mcosx-1＜m-1＜-

1

2

＜0，
所以函数F（x）在R上单调递减，
因此函数F（x）在R上有且只有一个零点，即方程f（x）=x有且只有一个实根．…（9分）
（Ⅲ）因为a₁=0，a_n+1=f（a_n）=msina_n+1，所以a₂=1＞a₁，
又a₃=msin1+1，因为0＜1＜

π

2

，所以0＜sin1＜1，所以a₃＞1=a₂．
由此猜测a_n＞a_n-1（n≥2），即数列{a_n}是单调递增数列．…（11分）
以下用数学归纳法证明：n∈N，且n≥2时，a_n＞a_n-1≥0成立．
（1）当n=2时，a₂=1，a₁=0，显然有a₂＞a₁≥0成立．
（2）假设n=k（k≥2）时，命题成立，即a_k＞a_k-1≥0（k≥2）．…（12分）
则n=k+1时，a_k+1=f（a_k）=msina_k+1，
因为0＜m＜

1

2

，所以ak=f(ak-1)=msinak-1+1＜m+1＜

1

2

+1＜

π

2

．
又sinx在(0，

π

2

)上单调递增，0≤ak-1＜ak＜

π

2

，
所以sina_k＞sina_k-1≥0，所以msina_k+1＞msina_k-1+1，
即sina_k+1＞msina_k-1+1=f（a_k-1）=a_k≥0，
即n=k+1时，命题成立．…（13分）
综合（1），（2），n∈N，且n≥2时，a_n＞a_n-1成立．
故数列{a_n}为单调递增数列．…（14分）

点评：本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般等思想方法．