Question

7．已知x，y∈R⁺，且满足$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{4}$=1，则$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值是12-4$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用已知条件，结合基本不等式求解表达式的最值即可．

解答 解：x，y∈R⁺，且满足$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{4}$=1，
则$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）（$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{4}$）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$+$\frac{2x}{3y}+\frac{y}{4x}$≥$\frac{5}{6}$+$2\sqrt{\frac{2x}{3y}×\frac{y}{4x}}$=$\frac{5}{6}+\frac{2\sqrt{6}}{6}$=$\frac{5+2\sqrt{6}}{6}$，当且仅当x=3$\sqrt{6}-6$，y=$\frac{12}{3+\sqrt{6}}$=12-4$\sqrt{6}$时，取等号．
表达式的最小值12-4$\sqrt{6}$．
故答案为：12-4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．