Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）X∈[

π

12

，

7π

12

]时，若方程f（x）-m=0恰好有两个不同的根x₁，x₂，求m的取值范围及x₁+x₂的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用已知相邻两交点的距离求得函数的最小正周期，根据最低点坐标求得振幅A和φ，进而得出函数的图象．
（2）利用数形结合的思想，画出三角函数的图象，要使方程f（x）-m=0恰好有两个不同的根，即时直线y=m与三角函数图象在此范围内有两个交点，进而求得m的范围，通过图象可知，两根即直线与函数图象的两个交点连线的中点恰是三角函数两个相邻零点连线的中点进而求得其值．

解答： 解：（1）由已知条件得

T

2

=

π

2

，A=2，
∴T=π，ω=

2π

T

=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
∵f（

2π

3

）=2sin（

4π

3

+φ）=-2，
∴

4π

3

+φ=

3π

2

+2kπ，即φ=2kπ+

π

6

，k∈Z，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴函数解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）根据（1）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）．其在一个周期上图象为

如图当0＜m＜2时，函数y=m与函数y=2sin（2x+

π

6

）的图象有2个交点，且两个交点连线的中点恰是点（-

π

12

，0）和（

5π

12

，0）连线的中点，
∴x₁+x₂=

- π 12 + 5π 12

2

=

π

6

．
综合可知m的取值范围是（0，2）及x₁+x₂=

π

6

．

点评：本题主要考查了三角函数的图象与性质．用数形结合的思想较为直观．