Question

12．已知数列a₁，a₂-a₁．a₃-a₂，…，a_n-a_n-1是以1为首项，3为公比的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式：
（2）若数列b_n=2na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用累加法能求出a_n．
（2）由b_n=2na_n=n•3ⁿ-n，利用错位相减法和分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列a₁，a₂-a₁．a₃-a₂，…，a_n-a_n-1是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴a₁=1，a₂-a₁=3，a₃-a₂=3²，…，a_n-a_n-1=3^n-1，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+3+3²+…+3^n-1
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$
=$\frac{{3}^{n}}{2}-\frac{1}{2}$．
（2）∵b_n=2na_n=n•3ⁿ-n，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ-（1+2+3+…+n），①
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹-3（1+2+3+…+n），②
①-②，得：-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹+2•$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹+n（n+1）
=$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$-n•3ⁿ⁺¹+n（n+1），
∴T_n=（$\frac{n}{2}-\frac{1}{4}$）•3ⁿ⁺¹-$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．