Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2

3

，∠APB=30°．
（Ⅰ）求∠AEC的大小；
（Ⅱ）求AE的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先连接AB，根据切线的性质以及已知条件得到：∠AOB=60°；再结合OA=OB以及∠ABC=∠AEC即可得到结论；
（Ⅱ）分两段，先根据直角三角形中的有关性质求出AD，再结合相交弦定理求出DE，二者相加即可．

解答：解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，
所以：∠AOB=60°；
∵OA=OB
∴∠AB0=60°；
∵∠ABC=∠AEC
∴∠AEC=60°．
（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=

3

，
在RT△AHD中，HD=2，∴AD=

3+22

=

7

．
∵BD•DC=AD•DE，
∴DE=

3 7

7

．
∴AE=DE+AD=

10 7

7

．

点评：本题主要考察与圆有关的比例线段，其中涉及到相交弦定理，同弧所对的圆周角相等以及弦切角等知识，是对知识的综合考察，属于中档题目．