Question

6．已知命题P：关于x的方程x²-（a+3）x+a+3=0有两个不等正实根；命题Q：不等式ax²-（a+3）x-1＜0对任意实数x均成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出关于p，q成立的a的范围，从而求出P∨Q是真命题时的a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵命题P：关于x的方程x²-（a+3）x+a+3=0有两个不等正实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=a+3＞0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=a+3＞0}\\{△{=（a+3）}^{2}-4（a+3）＞0}\end{array}\right.$，解得：a＞1，
又∵命题Q：不等式ax²-（a+3）x-1＜0对任意实数x均成立，
当a=0时：不等式变为：-3x-1≤0，解得：x≥-$\frac{1}{3}$，显然不符合题意，
当a≠0时：$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△{=（a+3）}^{2}+4a＜0}\end{array}\right.$，解得：-9＜a＜-1，
若P∨Q是真命题，则实数a的范围是：-9＜a＜-1或a＞1．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道中档题．