Question

甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，记ξ=|a-b|．
（I）求ξ的分布列及期望；
（II）若ξ≤1，则称“甲乙心有灵犀”，求“甲乙心有灵犀”的概率．

Answer 1

分析：（I）由题意知ξ可能取的值为0，1，2，3，4，5，当变量取值是0时，表示a和b取值相同，有6种情况，而所有事件有6×6种，根据古典概型的概率公式得到结果．
（2）变量小于等于1，表示变量取0或变量取1，这两个事件是互斥事件，根据互斥事件的概率公式和前面做出的分布列，得到结果．

解答：解：（I）由题意知ξ可能取的值为0，1，2，3，4，5，
当变量取值是0时，表示a和b取值相同，有6种情况，而所有事件有6×6种，
根据古典概型的概率公式得到结果，
P(ξ=0)=

6

36

，
P(ξ=1)=

2×5

36

=

10

36

，
P(ξ=2)=

2×4

36

=

8

36

，
P(ξ=3)=

2×3

36

=

6

36

，
P(ξ=4)=

2×2

36

=

4

36

，P(ξ=5)=

2

36

∴ξ的分布列为

Eξ=

35

18

（II）变量小于等于1，表示变量取0或变量取1，
这两个事件是互斥事件，根据互斥事件的概率公式和前面做出的分布列，得到结果，
P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=

4

9

.

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和应用，本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．