Question

设函数f(x)=x2+

1

4

，g(x)=

1

2

ln(2ex)，（其中e为自然底数）；
（Ⅰ）求y=f（x）-g（x）（x＞0）的最小值；
（Ⅱ）探究是否存在一次函数h（x）=kx+b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）对一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）数列{a_n}中，a₁=1，a_n=g（a_n-1）（n≥2），求证：

n

k=1

(ak-ak+1)•ak+1＜

3

8

．

Answer 1

分析：（1）表示出y=f（x）-g（x），用导数判断其单调性，根据单调性即可求出最小值；
（2）由（Ⅰ）知f（

1

2

）=g（

1

2

）=

1

2

，从而得h（

1

2

）=

1

2

，于是h（x）可表示为关于k的一次函数，根据f（x）≥h（x）恒成立可求得k值，从而可求得h（x）表达式，再验证h（x））≥g（x）对一切x＞0恒成立即可；
（3）由（Ⅱ）先证{a_n}递减且

1

2

＜a_n＜1（n≥2），然后进行放缩：（a_k-a_k+1）•a_k+1＜(ak-ak+1)•

ak+ak+1

2

=

ak2-ak+12

2

，求和利用上述结论即可证明；

解答：解：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）的定义域为{x|x＞0}，y=f（x）-g（x）=x2+

1

4

-

1

2

ln(2ex)，
y′=2x-

1

2x

=

4x2-1

2x

，易知0＜x＜

1

2

时y′＜0，x＞

1

2

时y′＞0，
所以y=f（x）-g（x）在（0，

1

2

）上递减，在（

1

2

，+∞）上递增，
所以x=

1

2

时y=f（x）-g（x）取得最小值为0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（

1

2

）=g（

1

2

）=

1

2

，所以h（

1

2

）=

1

2

，
所以可设h（x）=kx+

1

2

-

k

2

，代入f（x）≥h（x），得x2-kx+

k

2

-

1

4

≥0恒成立，
所以△=（k-1）²≤0，所以k=1，h（x）=x，
设G（x）=x-

1

2

ln（2ex），则G′（x）=1-

1

2x

，
当0＜x＜

1

2

时G′（x）＜0，当x＞

1

2

时G′（x）＞0，易知G（x）≥G（

1

2

）=0，即h（x）≥g（x）对一切x＞0恒成立；
综上，存在h（x）=x符合题目要求，它恰好是y=f（x），y=g（x）图象的公切线．
（Ⅲ） 先证 {a_n}递减且

1

2

＜a_n＜1（n≥2）；
由（Ⅱ）知g（x）≤x，所以a_n=g（a_n-1）≤a_n-1，即{a_n}为递减数列；
又a₁=1，a2=

1

2

ln2+

1

2

＞

1

2

，所以a3=g(a2)＞g(

1

2

)=

1

2

，…
因为当a_k＞

1

2

时总有ak+1=g(ak)＞g(

1

2

)=

1

2

，
所以

1

2

＜…＜a_n＜a_n-1＜…＜a₁=1；
所以

n

k=1

(ak-ak+1)•ak+1＜

n

k=1

(ak-ak+1)•

ak+ak+1

2

=

n

k=1

ak2-ak+12

2

=

a12-an+12

2

＜

1- 1 4

2

=

3

8

．

点评：本题考查利用导数求函数的最值、函数恒成立及数列与不等式的综合问题，考查学生分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度大，对学生能力要求较高．