Question

若a>0,b>0,a³+b³=2,求证:a+b≤2,ab≤1.

Answer 1

见解析

证明：方法一:因为a>0,b>0,a³+b³=2,所以
(a+b)³-2³=a³+b³+3a²b+3ab²-8=3a²b+3ab²-6
=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a³+b³)]=
-3(a+b)(a-b)²≤0.
即(a+b)³≤2³,又a+b>0,所以a+b≤2,因为2≤a+b≤2,所以ab≤1.
方法二:设a,b为方程x²-mx+n=0的两根,则因为a>0,b>0,所以m>0,n>0,
且Δ=m²-4n≥0.　①
因为2=a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=(a+b)[(a+b)²-3ab]=m(m²-3n),
所以n=-.　②
将②代入①得m²-4≥0,
即≥0,所以-m³+8≥0,即m≤2,所以a+b≤2,
由2≥m得4≥m²,又m²≥4n,所以4≥4n,
即n≤1,所以ab≤1.
方法三:因为a>0,b>0,a³+b³=2,所以2=a³+b³=
(a+b)(a²+b²-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b),
于是有6≥3ab(a+b),从而8≥3ab(a+b)+2=3a²b+3ab²+a³+b³=(a+b)³,所以a+b≤2(以下略).
方法四:因为-
=
=≥0,
所以对任意非负实数a,b,有≥.
因为a>0,b>0,a³+b³=2,所以1=≥,
所以≤1,即a+b≤2(以下略).
方法五:假设a+b>2,则a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
=(a+b)[(a+b)²-3ab]≥(a+b)ab>2ab,所以ab<1.
又a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=(a+b)[(a+b)²-3ab]>2(2²-3ab),且a³+b³=2,
所以2>2(4-3ab),因此ab>1,前后矛盾,故a+b≤2(以下略).