【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A(﹣ ,0),B( ,0),锐角α的终边与单位圆O交于点P.
(Ⅰ)用α的三角函数表示点P的坐标;
(Ⅱ)当 =﹣ 时,求α的值;
(Ⅲ)在x轴上是否存在定点M,使得| |= | |恒成立?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:锐角α的终边与单位圆O交于点P.
(Ⅰ)用α的三角函数表示点P的坐标为(cosα,sinα);
(Ⅱ) , , =﹣ 时,
即(cos )(cos )+sin2α= ,整理得到cos ,所以锐角α=60°;
(Ⅲ)在x轴上假设存在定点M,设M(x,0), ,
则由| |= | |恒成立,得到 = ,整理得2cosα(2+x)=x2﹣4,
所以存在x=﹣2时等式恒成立,所以存在M(﹣2,0).
【解析】(Ⅰ)用α的三角函数的坐标法定义得到P 坐标;(Ⅱ)首先写成两个向量的坐标根据 =﹣ ,得到关于α的三角函数等式,求α的值;(Ⅲ)假设存在M(x,0),进行向量的模长运算,得到三角等式,求得成立的x值.
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【题目】已知对任意平面向量 =(x,y),把 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到的向量 =(xcosθ﹣ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ得到点P.
(1)已知平面内点A(2,3),点B(2+2 ,1).把点B绕点A逆时针方向旋转 角得到点P,求点P的坐标.
(2)设平面内曲线C上的每一点绕坐标原点沿顺时针方向旋转 后得到的点的轨迹方程是曲线y= ,求原来曲线C的方程.
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【题目】 =(3 sinx, cosx), =(cosx, cosx),f (x)= .
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)x∈[﹣ , ]时,g(x)=f(x)+m的最大值为 ,求g(x)的最小值及相应的x值.
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【题目】已知函数f(x)=|ax﹣1|﹣(a﹣1)x
(1)当a= 时,满足不等式f(x)>1的x的取值范围为;
(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点,则实数a的取值范围为 .
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【题目】国家规定个人稿费纳税方法为:不超过800元的不纳税,超过800且不超过4000元的按超过800元的部分14%纳税,超过4000元的按全部稿费的11%纳税,
(1)试根据上述规定建立某人所得稿费x元与纳税额y元的函数关系;
(2)某人出了一本书,获得20000元的个人稿费,则这个人需要纳税是多少元?
(3)某人发表一篇文章共纳税70元,则这个人的稿费是多少元?
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【题目】已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R). (Ⅰ)已知x∈[0,1]
(i)若a=b=1,求函数f(x)的值域;
(ii)若函数f(x)的值域为[0,1],求a,b的值;
(Ⅱ)当|x|≥2时,恒有f(x)≥0,且f(x)在区间(2,3]上的最大值为1,求a2+b2的最大值和最小值.
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【题目】如图,已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)且被x轴分成的两段圆弧长之比为1:2,过点H(0,t)的直线l于圆C相交于M、N两点,且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.
(1)求圆C的方程;
(2)当t=1时,求出直线l的方程;
(3)求直线OM的斜率k的取值范围.
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