Question

11．是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，说明理由．
（1）渐近线方程是x±2y=0；
（2）点A（5，0）到双曲线上的动点P的距离的最小值为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根据双曲线和其渐近线之间的关系，设出双曲线的方程，根据点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为$\sqrt{6}$，转化为双曲线与半径为$\sqrt{6}$的圆A相切，联立消去y得，利用△=0即可求得双曲线的方程．

解答 解：由渐近线方程为x±2y=0，设双曲线方程为x²-4y²=m，
∵点A（5，0）到双曲线上动点P的距离的最小值为$\sqrt{6}$，
说明双曲线与半径为$\sqrt{6}$的圆A相切，
圆A方程为（x-5）²+y²=6，与x²-4y²=m联立消去y得：4（x-5）²+x²=24+m
化简得到：5x²-40x+76-m=0，△=40²-4×5×（76-m）=0，
解得m=-4 所以满足条件的双曲线方程为x²-4y²=-4，
即y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
或者双曲线的顶点在（5+$\sqrt{6}$，0）渐近线为x±2y=0，双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{31+10\sqrt{6}}-\frac{4{y}^{2}}{31+10\sqrt{6}}$=1．
所以所求双曲线方程为：y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}^{2}}{31+10\sqrt{6}}-\frac{4{y}^{2}}{31+10\sqrt{6}}$=1．

点评 考查双曲线的简单的几何性质，特别是双曲线方程与其渐近线方程之间的关系，此题设双曲线方程为x²-4y²=m，避免了讨论，条件（2）的设置增加了题目的难度，体现了转化的思想，属中档题．