Question

（2013•闵行区一模）科学研究表明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析，得出学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律为：y=f(x)=

2x+68，0≤x＜8 - 1 8 (x2-32x-480)，8≤x≤40

（1）如果学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）
（2）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，那么，教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）

Answer 1

分析：（1）由学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律知：当0≤x＜8时，由y=2x+68≥80，当8≤x≤40时，y=-

1

8

（x²-32x-480）≥80，由此能够推导出在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间．
（2）设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，由10+4

6

＜24，知t∈[0，6]，要学生的注意力指数最低值达到最大，只需f（t）=f（t+24），由此推导出教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数最低值达到最大．

解答：解：（1）∵学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律为：
y=f(x)=

2x+68，0≤x＜8 - 1 8 (x2-32x-480)，8≤x≤40

，
∴当0≤x＜8时，由y=2x+68≥80，解得6≤x＜8．
当8≤x≤40时，由y=-

1

8

（x²-32x-480）≥80，
解得8≤x≤16+4

6

≈26．
∴在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有26-6=20分钟．
（2）设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，
∵10+4

6

＜24，∴t∈[0，6]，
要学生的注意力指数最低值达到最大，只需f（t）=f（t+24），
∴2t+68=-

1

8

[(t+24)2-32(t+24)-480]，
解得t=8

6

-16≈4．
∴教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数最低值达到最大．

点评：本题考查函数在生产生活中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．