Question

12、已若不等式t²-2at+1≥sinx对一切x∈[-π，π]及a∈[-1，1]都成立，则t的取值范围是

t≥2或t≤-2或t=0

．

Answer 1

分析：函数sinx在[-π，π]最大值是1，由此可以得到1≤t²-2at+1，因其在a∈[-1，1]时恒成立，可以改变变量，以a为变量，利用一次函数的单调性转化求解．

解答：解：函数sinx在[-π，π]最大值是1，，
∴1≤t²-2at+1，
当t=0时显然成立
当t≠0时，则t²-2at≥0成立，又a∈[-1，1]
令r（a）=-2ta+t2，a∈[-1，1]
当t＞0时，r（a）是减函数，故令r（1）≥0，解得t≥2
当t＜0时，r（a）是增函数，故令r（-1）≥0，解得t≤-2
综上知，t≥2或t≤-2或t=0
故答案为：t≥2或t≤-2或t=0．

点评：本题是一个恒成立求参数的问题，此类题求解的关键是解题中关系的转化，本题借助单调性确定最值进行转化，这是不等式型恒成立问题常用的转化技巧．