Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（m+1）-ma_n对于任意的正整数n都成立，其中m为常数，且m＜-1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足：b1=

1

3

a1，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N），求证：数列{

1

bn

}是等差数列，并求数列{b_nb_n+1}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由S_n=（m+1）-ma_n可得S_n+1=（m+1）-ma_n+1，两式相减整理后即可证得{a_n}是等比数列；
（2）由（1）可求得a₁，从而可得b₁，由q=f（m）=

m

m+1

；得b_n=f（b_n-1）=

bn-1

b n-1+1

；两边取倒数即可得到数列{

1

bn

}是等差数列；进而求出其通项，再利用裂项法求出数列{b_nb_n+1}的前n项和即可．

解答：解：（1）由已知S_n=（m+1）-ma_n；
S_n+1=（m+1）-ma_n+1，
相减，得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，
即

an+1

an

=

m

m+1

，
所以{a_n}是等比数列
（2）当n=1时，a₁=m+1-ma₁，
则a₁=1，
从而b₁=

1

3

，
由（1）知q=f（m）=

m

m+1

，
所以b_n=f（b_n-1）=

bn-1

b n-1+1

（n≥2）
∴

1

bn

=1+

1

bn-1

，
∴数列{

1

bn

}是首项为

1

3

，公差为1的等差数列
∴

1

bn

=3+（n-1）=n+2，
故：bn=

1

n+2

    （n≥1），
∴{b_nb_n+1=

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

；
∴数列{b_nb_n+1}的前n项和A=（

1

3

-

1

4

）+（

1

4

-

1

5

）+…+（

1

n+2

-

1

n+3

）=

1

3

-

1

n+3

=

n

3n+9

．

点评：本题考查数列的求和，难点在于求b_n，着重考查学生裂项法求和，属于中档题．