Question

4．已知集合D={x|$\frac{24-x}{x-9}$＞0}，若a，b∈D，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{12}$，则9^a•3^b的最小值为3⁵⁴．

Answer 1

分析 由$\frac{24-x}{x-9}$＞0，化为一元二次不等式，解得9＜x＜24．由于a，b∈D且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{12}$，可得12＜b＜24，变形2a+b=$\frac{24b}{b-6}$+b=30+$\frac{144}{b-6}$+（b-6），利用基本不等式的性质可得2a+b的取值范围，即可得出9^a•3^b=3^2a+b的最小值．

解答 解：由$\frac{24-x}{x-9}$＞0，化为（x-9）（x-24）＜0，解得9＜x＜24．
∵a，b∈D且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{12}$，
∴9＜a=$\frac{12b}{b-6}$＜24，
∴12＜b＜24，
∴2a+b=$\frac{24b}{b-6}$+b=30+$\frac{144}{b-6}$+（b-6）≥30+2 $\sqrt{\frac{144}{b-6}•（b-6）}$=54，
当且仅当b=18时取等号．
则9^a•3^b=3^2a+b≥3⁵⁴．
故答案为：3⁵⁴．

点评 本题考查了分式不等式与一元二次不等式的解法、基本不等式的性质、指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．