Question

【题目】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ． （Ⅰ）若A，B为曲线C1 ， C2的公共点，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）若A，B分别为曲线C1 ， C2上的动点，当|AB|取最大值时，求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程C1：x2+y2﹣2x=0．…（1） 将曲线C2：ρ=4sinθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4y=0．…（2）
由（1）﹣（2）得4y﹣2x=0，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为 ；
（Ⅱ）由C1：（x﹣1）2+y2=1知曲线C1是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，
由C2：x2+（y﹣2）2=4知曲线C2：是以C2（0，2）为圆心，半径为2的圆．
∵|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，
∴当|AB|取最大值时，圆心C1 ， C2在直线AB上，
∴直线AB（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2．
∵O到直线AB的距离为 ，
又此时|AB|=|C1C2|+1+2=3+ ，
∴△AOB的面积为
【解析】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；（Ⅱ）由C1方程可知曲线是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，由C2方程可知曲线是以C2（0，2）为圆心，半径为2的圆，又|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，可知当|AB|取最大值时，圆心C1 ， C2在直线AB上，进一步求出直线AB（即直线C1C2）的方程，再求出O到直线AB的距离，则△AOB的面积可求．